Relasi

Relasi, dalam matematika, adalah hubungan antara dua elemen himpunan. Hubungan ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkrit maupun secara matematis.

DEFINISI

 

Jika terdapat himpunan A dan himpunan B (A bisa sama dengan B), maka relasi R dari Ake B adalah subhimpunan dari A×B.

 RELASI DAN FUNGSI PROPOSISI

 

Sebuah relasi dapat dikaitkan dengan sebuah fungsi proposisi atau kalimat terbuka yang himpunan penyelesaiannya tidak lain adalah relasi tersebut.
Sebagai contoh, pandang himpunan B = { apel, jeruk, mangga, pisang } dengan himpunan W = { hijau, kuning, orange}. Suatu relasi R dari A ke B didefinisikan sebagai R= {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)}. Terdapat fungsi proposisi w(x, y) = "x berwarna y", yang himpunan penyelesaiannya adalah {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)}, yang tidak lain adalah relasi R.

 RELASI A×A

Sebuah relasi A×A, yaitu relasi dari himpunan A kepada A sendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut:

• Refleksif
• Irefleksif
• Simetrik
• Anti-simetrik
• Transitif

Kita menyebut relasi R dari A kepada A sebagai relasi R dalam A.

Relasi Refleksif

Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen Aberhubungan dengan dirinya sendiri.

atau

Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “x selalu bersama y.”, dengan xdan y adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri.

 Relasi Irefleksif

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen A tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.

atau

Contoh relasi irefleksif adalah relasi “x mampu mencukur rambut y dengan rapi sempurna.”, dengan x dan y adalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukur a yang mampu mencukur rambutnya sendiri.
Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi < dan > adalah irefleksif.

 Relasi Simetrik

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota Aberhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika a terhubung dengan b, maka b juga terhubung dengan a. Jadi terdapat hubungan timbal balik.

atau

Sebuah relasi “x + y genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang x dan y yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai y dan x, relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.

Relasi Anti-simetrik

Jika setiap a dan b yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsia dan b berlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.

atau

Dalam kebanyakan literatur biasanya ditulis sebagai kontraposisinya seperti di bawah ini. Keuntungan bentuk ini adalah tidak mengandung negasi, dan hanya mengandung satu implikasi.

atau

Relasi  bersifat anti-simetrik, karena  mengakibatkan . Demikian juga jika ada p dan q yang terhadap mereka berlaku  dan  berarti p = q.

 Relasi Transitif

Sebuah relasi disebut transitif jika memiliki sifat, jika a berhubungan dengan b, dan bberhubungan dengan c, maka a berhubungan dengan c secara langsung.

atau

Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7.

RELASI KHUSUS

Relasi Ekivalen

Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat:

• Refleksif
• Simetrik, dan
• Transitif

Relasi ekuivalen memiliki hubungan erat dengan partisi, yang merupakan alasan mengapa partisi dari sebuah himpunan disebut kelas ekivalen atau kelas kesetaraan.

 Orde Parsial

Orde parsial adalah relasi yang bersifat:

• Refleksif
• Anti-simetrik, dan
• Transitif

Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B.

Jika diketahui himpunan A = {0, 1, 2, 5}; B = {1, 2, 3, 4, 6}, maka relasi “satu kurangnya dari” himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus.

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu.


Kali ini, diperkenalkan 4 cara menyatakan relasi, yaitu:

1. Dengan Himpunan Pasangan Berurutan

2. Dengan Diagram Panah

3. Dengan Diagram Cartesius

4. Dengan Rumus

1.  Diagram Panah

Anggota-anggota himpunan P berelasi dengan anggota himpunan Q dengan relasi “menyukai”. Hal tersebut ditunjukkan dengan arah panah. Oleh karena itu, diagramnya disebut diagram panah.

2.  Diagram Kartesius

Diagram kartesius merupakan diagram yang terdiri atas sumbu X dan sumbu Y. Pada diagram kartesius, anggota himpunan P terletak pada sumbu mendatar (sumbu-X), sedangkan anggota himpunan Q terletak pada sumbu tegak (sumbu-Y). Relasi yang menghubungkan himpunan P dan Q ditunjukkan dengan noktah atau titik sepertiterlihat pada gambar.



3.  Himpunan Pasangan Berurutan

Selain menggunakan diagram panah dan kartesius, sebuah relasi yang menghubungkan himpunan yang satu dengan himpunan lainnya dapat disajikan dalam bentuk himpunan pasangan berurutan. Adapun cara penulisannya adalah anggota himpunan P ditulis pertama, sedangkan anggota himpunan Q menjadi pasangannya.

Berdasarkan soal di atas, maka diperoleh himpunan pasangan berurutan sebagai berikut.

{(Rani, basket), (Rani, bulu tangkis), (Dian, basket), (Dian, atletik), (Isnie, senam), (Dila, basket), (Dila, tenis meja)}

4. Dengan Rumus

f(x) = x + 1, di mana x = {0, 1, 2, 5} dan f(x) = {1, 2, 3, 4, 6}

Relasi Invers
Setiap Relasi dari A ke B, mempunyai relasi R-1 dari B ke A yang didefinisikan sebagai
R-1 = {(b,a) ½ (a,b) Î R}
contoh:
A = {1,2,3}; B = {a,b}
R = {(1,a), (1,b), (3,a)} relasi dari A ke B
R-1 = {(a,1), (b,1), (a,3)} relasi invers dari B ke A

DOMAIN DAN RANGE
Domain (daerah asal) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen pertama dari pasangan berurutan elemen R.
Domain = { a ½ a Î A, (a,b) Î R }
Range (daerah hasil) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen kedua dari pasangan berurutan elemen R.
Range = {b ½ b Î B, (a,b) Î R}
contoh:
A = {1,2,3,4} ; B = {a,b,c}
R = {(2,a) ; (4,a) ; (4,c)}
Domain = {2,4}
Range = {a,c}

Komposisi  Relasi

Komposisi relasi seperti halnya komposisi fungsi jadi seperti  kombinasi hanya beda macam operasinya.

Misal R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. komposisi R dan S dinotasikan dengan  R₀S adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh

          R₀S = {(a,c)|aЄA, c Є C, dan untuk beberapa bЄB, (a,b)ЄR dan (b,c)ЄS}

Sifat-sifat relasi biner

1. Refleksif

Relasi R pada himpunan A disebut refleksif,  jika (a,a)ЄR untuk setiap aЄA.

2. Simetris (setangkup)

Sebaliknya dikatakan tidak simetris.

Contoh

Relasi R didefinisikan pada himpunan A dimana  A={1,2,3,4}

a) Diketahui ,  R={(1,1), (1,2),(2,1), (2,2), (2,4), (4,2), (4,4)}

b) Diketahui , R={(1,1),  (2,3), (4,2), (4,3), (4,4)}.

Tentukan apakah R simetris ?

Jawab

a) simetris karena jika (a,b)ЄR, ada juga  (b,a)ЄR yaitu (1,2) , (2,1) ЄR, begitu juga (2,4) , (4,2)ЄR

b) tidak simetris karena (2,3)ЄR tetapi (3,2) tidak dalam R

Dilihat cara penulisan relasi, relasi bersifat simetris mempunyai matriks yang elemen-elemen dibawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen diatas diagonal utama, atau m_ij = m_ji umtuk i= 1,2,.......n. sedangkan graf berarahnya mempunyai ciri : jika ada busur a ke b, maka ada juga busur dari b ke a

3. Transitif (penghantar)

Relasi R pada himpunan A disebut  transitif (penghantaf), untuk a, b, c Є A, jika (a,b)ЄR dan (b,c)ЄR,maka harus ada (a,c)ЄR.

LATIHAN SOAL

1. A = {Buyung, Doni, Vita, Putri}, B = {IPS, kesenian, keterampilan, olahraga, matematika, IPA, bahasa Inggris}, dan “pelajaran yang disukai” adalah relasi yang menghubungkan himpunan A ke himpunan B.

keterangan: Buyung suka IPS dan kesenian, Doni suka Ketrampilan dan Olahraga, Vita suka IPA, dan Putri suka Matematika dan Bahasa Inggris.

Jawaban dengan tiga metode:

a. Dengan metode diagram panah

b. Dengan metode diagram Cartesius

c. Dengan metode himpunan pasangan berurutan

{(Buyung, IPS), (Buyung, kesenian), (Doni, keterampilan), (Doni, olahraga), (Vita, IPA), (Putri, matematika), (Putri, bahasa Inggris)}

2. Relasi R didefinisikan pada himpunan A dimana  A={1,2,3,4}

a) Diketahui ,  R={(1,1), (1,3),(2,1), (2,2), (3,3), (4,2), (4,3), (4,4)}

b) Diketahui , R={(1,1),  (2,2), (2,3), (4,2), (4,3), (4,4)}.

Tentukan apakah R refleksif ?

Jawab

a) bersifat refleksif karena  (a,a) ada dalam R yaitu (1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4)

b) tidak refleksif karena ada (a,a) tidak ada dalam R yaitu (3,3).

Dilihat dari cara penulisan relasi, relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks denganbentuk semua bernilai 1 pada diagonal utamanya ,  sedangkan graf berarah adanya gelang pada setiap simpulnya.

3. A={1,2,3,4}, dan relasi R pada A

a) diketahui R= {(2,1), (3,1),(3,2), (4,1), (4,2), (4,3)}

b) Diketahui , R={(1,1),  (2,3),  (2,4), (4,2)}.

Tentukan apakah R refleksif ?

Jawab

a) transitif karena memenuhi syarat untuk, a,b,c ЄA, jika ada (a,b)ЄR dan (b,c)ЄR,maka terlihat ada (a,c)ЄR.

b) tidak bersifat transitif karena tidak memenuhi syarat untuk, a,b,c ЄA, jika ada (a,b)ЄR dan (b,c)ЄR,tidak terlihat ada (a,c)ЄR. Dalam hal ini ada (2,4), dan(4,2) tetapi (2,2)ÏR

Sumber : http://oestadnetral.blogspot.com/2012/11/relasi.html

http://indahkwardani.wordpress.com/2014/05/06/relasi/

http://cabangmatematika.blogspot.com/2014/02/pengertian-relasi-beserta-contoh-soal.html

http://matkdimasfun.blogspot.com/2011/12/relasi-dan-fungsi.html

http://dianitaawulan.wordpress.com/2013/06/14/matriks-relasi-dan-diagram-panah-relasi-invers/

http://relasidanfungsi.weebly.com/macam-macam-penyajian-relasi.html